高二的数学内容有哪些(精选九篇)。
1.有向线段的定义
线段的端点A为始点,端点B为终点,这时线段AB具有射线AB的方向.像这样,具有方向的线段叫做有向线段.记作:.
2.有向线段的三要素:有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
3.向量的定义:(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素:大小和方向.
(2)向量的表示方法:①用两个大写的英文字母及前头表示,有向线段来表示向量时,也称其为向量.书写时,则用带箭头的小写字母,,,来表示.
4.向量的长度(模):如果向量=,那么有向线段的长度表示向量的大小,叫做向量的长度(或模),记作||.
5.相等向量:如果两个向量和的方向相同且长度相等,则称和相等,记作:=.
6.相反向量:与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量,记作:-.
7.向量平行(共线):如果两个向量方向相同或相反,则称这两个向量平行,向量平行也称向量共线.向量平行于向量,记作//.规定: //.
8.零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作:.零向量的方向是不确定的,是任意的.由于零向量方向的特殊性,解答问题时,一定要看清题目中是零向量还是非零向量.
9.单位向量:长度等于1的向量叫做单位向量.
10.向量的加法运算:
(1)向量加法的三角形法则
11.向量的减法运算
12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量,,都有|||-|||||+||.
13.数乘向量的定义:
实数和向量的乘积是一个向量,这种运算叫做数乘向量,记作.
向量的长度与方向规定为:(1)||=|
(2)当0时,与方向相同;当0时,与方向相反.
(3)当=0时,当=时,=.
14.数乘向量的运算律:(1))= (结合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15.平行向量基本定理
如果向量,则//的充分必要条件是,存在唯一的实数,使得=.
如果与不共线,若m=n,则m=n=0.
16.非零向量的单位向量:非零向量的单位向量是指与同向的单位向量,通常记作.
=||,即==(,)
17.线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点,O是平面内任意一点,则=(+).
18.平面向量的直角坐标运算:如果=(a1,a2),=(b1,b2),则
+=(a1+b1,a2+b2);-=(a1-b1,a2-b2);=(a1,a2).
19.利用两点表示向量:如果A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
20.两向量相等和平行的条件:若=(a1,a2),=(b1,b2) ,则
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特别地,如果b10,b20,则// =.
21.向量的长度公式:若=(a1,a2),则||=.
22.平面上两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
23.中点公式
若点A(x1,y1),点B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=,y= .
24.重心公式
在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),A(x3,y3),,△ABC的重心为G(x,y),则
x=,y=
25.(1)两个向量夹角的取值范围是[0,p],即0,p.
当=0时,与同向;当=p时,与反向
当= 时,与垂直,记作.
(3)向量的内积定义:=||||cos.
其中,||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.
(4)内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量,或的模与在 方向上的正射影数量的乘积
当0,90时,0;=90时,
90时,0.
26.向量内积的运算律:
(1)交换率
(2)数乘结合律
(3)分配律
(4)不满足组合律
27.向量内积满足乘法公式
29.向量内积的应用:
1、对数学概念重新认识,深刻理解其内涵与外延,区分容易混淆的概念。如以角的概念为例,数学课本中出现了不少种角,如直线的斜角,两条异面直线所成的角,直线与平面所成的角,复数的辐角主值,夹角、倒角等,它们从各自的定义出法,都有一个确定的取值范围。如两条异面直线所成的角是锐角或直角,而不是钝角,这样保证了它的唯一性。对此理解、掌握了才不会出现概念性错误。
2、尽一步加深对数学定理、公式的理解与掌握,注意每个定理、公式的`运用条件和范围。如用平均值不等式求最值,必须满三个条件,缺一不可。有的同学之所以出错误,不是对平均值不等式的结构不熟悉,就是忽视其应满足的条件。
3、掌握数学典型命题所体现的思想与方法。如对等式的证明方法,就给大家提供了求二项式展开式或多项式展开式系数和的普遍方法。因此,端正思想,认真看书,全面掌握,并结合其它资料和练习,加深对数学基础知识的理解,从而为提高解题能力打下坚实的基础。
平面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件:
(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= .
(2)若=(),b=()则‖b .
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,使得= e1+ e2
一、不等关系及不等式知识点
1.不等式的定义
在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.
2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-baa-b=0a-ba0,则有a/baa/b=1a/ba
3.不等式的性质
(1)对称性:ab
(2)传递性:ab,ba
(3)可加性:aa+cb+c,ab,ca+c
(4)可乘性:ab,cacb0,c0bd;
(5)可乘方:a0bn(nN,n
(6)可开方:a0
(nN,n2).
注意:
一个技巧
作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方.
一种方法
待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围.
一、集合、简易逻辑(14课时,8个)
1、集合;
2、子集;
3、补集;
4、交集;
5、并集;
6、逻辑连结词;
7、四种命题;
8、充要条件。
二、函数(30课时,12个)
1、映射;
2、函数;
3、函数的单调性;
4、反函数;
5、互为反函数的函数图象间的关系;
6、指数概念的扩充;
7、有理指数幂的运算;
8、指数函数;
9、对数;
10、对数的运算性质;
11、对数函数。
12、函数的应用举例。
三、数列(12课时,5个)
1、数列;
2、等差数列及其通项公式;
3、等差数列前n项和公式;
4、等比数列及其通顶公式;
5、等比数列前n项和公式。
四、三角函数(46课时,17个)
1、角的概念的推广;
2、弧度制;
3、任意角的三角函数;
4、单位圆中的三角函数线;
5、同角三角函数的基本关系式;
6、正弦、余弦的诱导公式;
7、两角和与差的正弦、余弦、正切;
8、二倍角的正弦、余弦、正切;
9、正弦函数、余弦函数的图象和性质;
10、周期函数;
11、函数的奇偶性;
12、函数的图象;
13、正切函数的图象和性质;
14、已知三角函数值求角;
15、正弦定理;
16、余弦定理;
17、斜三角形解法举例。
五、平面向量(12课时,8个)
1、向量;
2、向量的加法与减法;
3、实数与向量的积;
4、平面向量的坐标表示;
5、线段的定比分点;
6、平面向量的数量积;
7、平面两点间的距离;
8、平移。
六、不等式(22课时,5个)
1、不等式;
2、不等式的基本性质;
3、不等式的证明;
4、不等式的解法;
5、含绝对值的不等式。
七、直线和圆的方程(22课时,12个)
1、直线的倾斜角和斜率;
2、直线方程的点斜式和两点式;
3、直线方程的一般式;
4、两条直线平行与垂直的条件;
5、两条直线的交角;
6、点到直线的距离;
7、用二元一次不等式表示平面区域;
8、简单线性规划问题;
9、曲线与方程的概念;
10、由已知条件列出曲线方程;
11、圆的标准方程和一般方程;
12、圆的参数方程。
在中国古代把数学叫算术,又称算学,最后才改为数学。
1.任意角
(1)角的分类:
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角。
②按终边位置不同分为象限角和轴线角。
(2)终边相同的角:
终边与角相同的角可写成+k360(kZ)。
(3)弧度制:
①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的'角。
②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,||=,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径。
③用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制。比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关。
④弧度与角度的换算:360弧度;180弧度。
⑤弧长公式:l=||r,扇形面积公式:S扇形=lr=||r2.
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义:
设是一个任意角,角的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角的正弦、余弦、正切分别是:sin =y,cos =x,tan =,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3.三角函数线
设角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M。由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos_,sin_),即P(cos_,sin_),其中cos =OM,sin =MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T,则tan =AT。我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线。
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围:0°≤α
当直线l与x轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
3.2.1直线的点斜式方程
1、直线的点斜式方程:直线经过点且斜率为
2、、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为
3.2.2直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点
2、直线的截距式方程:已知直线
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于x、y的二元一次方程
(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1:3x+4y-2=0
L1:2x+y+2=0
解:解方程组
得x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
2、两平行线间的距离公式:
教学目标
1、知识与技能
(1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性;
(2)能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法
通过正弦函数在R上的图像,让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题,总结方法,巩固练习。
3、情感态度与价值观
通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重难点
重点:正弦函数的性质。
难点:正弦函数的性质应用。
教学工具
投影仪
教学过程
【创设情境,揭示课题】
同学们,我们在数学一中已经学过函数,并掌握了讨论一个函数性质的几个角度,你还记得有哪些吗?在上一次课中,我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?
【探究新知】
让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题:
(1)正弦函数的定义域是什么?
(2)正弦函数的值域是什么?
(3)它的最值情况如何?
(4)它的正负值区间如何分?
(5)?(x)=0的解集是多少?
师生一起归纳得出:
1、定义域:y=sinx的`定义域为R
2、值域:引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有界性)
再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以y=sinx的值域为[-1,1]
课后小结
归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有哪些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
课后习题
作业:习题1—4第3、4、5、6、7题。
一、不等式的性质
1.两个实数a与b之间的大小关系
2.不等式的性质
(4) (乘法单调性)
3.绝对值不等式的性质
(2)如果a>0,那么
(3)|ab|=|a||b|.
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
二、不等式的证明
1.不等式证明的依据
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)
2.不等式的证明方法
(1)比较法:要证明a>b(a<b),只要证明a-b>0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
三、解不等式
1.解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式.
(2)解一元二次不等式.
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解无理不等式;
④解指数不等式;
⑤解对数不等式;
⑥解带绝对值的不等式;
⑦解不等式组.
2.解不等式时应特别注意下列几点:
(1)正确应用不等式的基本性质.
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
(3)注意代数式中未知数的取值范围.
3.不等式的同解性
(5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.
(9)当a>1时,af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解,当0<a<1时,af(x)>ag(x)与f(x)<g(x)同
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